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重庆市南开中学高2021届第四次月考第15题:极化恒等式

重庆·云师堂大雪。大雪已过。“有梅无雪不精神,有雪无诗俗了人。”突然有种想写诗的冲动。嗯,诗呢?今天来到火锅店,口水馋到掉一片。七分肉肉三分素,不海吃一顿不舒服……好诗。百般享受,无非是为了掩饰对寂寞的忍受。人生苦短,数学万难,挣扎已不知从何而起,唯有大快朵颐,方能忘乎所以、逍遥自在。1  围观一叶障目,抑或胸有成竹

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题目短小而精巧,这才是数学题该有的样子。不像某些题目,似乎说了许多,又似乎什么也没说,装饰华丽的外表下是一大堆无关紧要的废话。解决向量问题,常见的方法有基底法和坐标法,辅助于几何意义(平行、垂直、圆、三角形的四星等)可以事半功倍。另外,复数与平面向量有着千丝万缕的关系,因此,平面向量的许多操作手法可以类比到复数(本次南开中学月考的第7题便是如此)。2  套路手足无措,抑或从容不迫

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坐标法是处理向量问题的基本方法,大多数题采用建系的方式都能圆满解决,本题也不例外。建系应使得向量的坐标简单为依据,尽可能让更多的向量落在坐标轴上。通过建系可以很明确地判定点B在定圆A上(如上图),点C在动圆M上,观察可得│OC│≤│OM│+R,而R=1,且│OM│≤│OA│+│AM│=2,故│OC│≤3。由于本题的几何意义十分明显,不建系反而更加快捷,法2便是如此。

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法2,首先利用垂直得到直角边不大于斜边,然后利用绝对值三角不等式放缩求出结论。这里充分体现了向量运算的优越性。需要注意的是,两个向量的数量积等于0是两个向量垂直的充要条件,切忌误认为两个向量本身为零向量,这是极易犯错的地方。

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法3,首先利用绝对值三角不等式求得│b│的范围(事实上只需最大值),然后利用极化恒等式(见脑洞)将向量的数量积转化为模,最后借助绝对值三角不等式求出结论。法1常规而朴素,却未必看得起;法2直截了当,又未必学得来;法3,一番操作猛如虎,临场发挥却未必靠谱。你选哪种?照单全收,只有小孩子才会选择。只怕那是噩梦般的开始,理想与现实总是存在着强烈的反差,贪,最终欲罢不能。3  脑洞浮光掠影,抑或醍醐灌顶1.极化恒等式:

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2.平行四边形模式与三角形模式:

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4  操作行同陌路,抑或一见如故

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posted @ 21-01-01 08:18  作者:admin  阅读量:

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